로그함수는 지수함수의 역함수입니다. 자연로그는 밑이 $e$ (오일러 수, $e \approx 2.71828...$)인 로그를 의미하며 $\ln x$로 표기합니다. 일반로그는 밑이 $a$ (단, $a > 0$, $a \neq 1$)인 로그를 의미하며 $\log_a x$로 표기합니다.
기본 공식:
$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$$합성함수의 경우 (연쇄법칙):
$$\frac{d}{dx}\ln[f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$$절댓값을 포함한 경우:
$$\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)$$$y = \ln x$라 하면 $x = e^y$입니다.
양변을 $x$에 대해 미분하면:
$$1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}$$정리하면:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$따라서:
$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$밑이 $a$인 로그:
$$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0, a > 0, a \neq 1)$$합성함수의 경우:
$$\frac{d}{dx}\log_a[f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x) \ln a}$$밑 변환 공식을 사용합니다:
$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$$양변을 $x$에 대해 미분하면:
$$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)$$$\ln a$는 상수이므로:
$$= \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x}$$따라서:
$$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$$자연로그의 적분:
$$\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C = x(\ln x - 1) + C$$일반로그의 적분:
$$\int \log_a x \, dx = \frac{x}{\ln a}(\ln x - 1) + C$$$\frac{1}{x}$의 적분:
$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$$\frac{f'(x)}{f(x)}$의 적분:
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$$부분적분 공식 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$를 사용합니다.
$u = \ln x$, $dv = dx$로 놓으면:
부분적분 공식에 대입하면:
$$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ $$= x \ln x - \int 1 \, dx$$ $$= x \ln x - x + C$$| 함수 | 미분 | 적분 |
|---|---|---|
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $x\ln x - x + C$ |
| $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ | $\frac{x}{\ln a}(\ln x - 1) + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\ln|x| + C$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ |
다음 함수를 미분하시오:
(1) $f(x) = \ln(3x^2 + 1)$
(2) $g(x) = x^2 \ln x$
(1) $f(x) = \ln(3x^2 + 1)$의 미분
연쇄법칙을 사용합니다:
$$f'(x) = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot (3x^2 + 1)'$$ $$= \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot 6x$$ $$= \frac{6x}{3x^2 + 1}$$(2) $g(x) = x^2 \ln x$의 미분
곱의 미분법을 사용합니다:
$$g'(x) = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)'$$ $$= 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$$ $$= 2x \ln x + x$$ $$= x(2\ln x + 1)$$
답:
(1) $f'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1}$
(2) $g'(x) = x(2\ln x + 1)$
다음 적분을 계산하시오:
(1) $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} \, dx$
(2) $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$
(1) $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} \, dx$
부정적분: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
$x > 0$이므로 절댓값 기호를 제거할 수 있습니다:
$$\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \left[\ln x\right]_1^e$$ $$= \ln e - \ln 1$$ $$= 1 - 0 = 1$$(2) $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$
$u = x^2 + 1$로 치환하면 $du = 2x \, dx$이므로:
$$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du$$ $$= \ln|u| + C$$ $$= \ln|x^2 + 1| + C$$$x^2 + 1 > 0$이므로 절댓값 기호를 제거할 수 있습니다:
$$= \ln(x^2 + 1) + C$$
답:
(1) $1$
(2) $\ln(x^2 + 1) + C$
로그함수의 미분과 적분은 다음과 같은 분야에서 널리 사용됩니다:
특히 자연로그는 자연 현상에서 나타나는 성장과 감쇠를 설명하는 데 필수적이며, 미적분학에서 가장 중요한 함수 중 하나입니다.