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1. 극좌표계란?
평면 위의 점을 나타내는 방법에는 직교좌표계(Cartesian coordinates)와 극좌표계(Polar coordinates) 두 가지가 있습니다.
직교좌표계는 $(x, y)$로 점의 위치를 나타내는 반면,
극좌표계는 원점으로부터의 거리와 각도를 사용하여 점의 위치를 나타냅니다.
정의: 극좌표
평면 위의 점 $P$의 극좌표는 $(r, \theta)$로 표현되며:
- $r$: 원점 $O$로부터 점 $P$까지의 거리 (동경의 길이)
- $\theta$: 양의 $x$축으로부터 반시계방향으로 측정한 각 (편각)
여기서 $r \geq 0$이고 $\theta$는 일반적으로 $0 \leq \theta < 2\pi$ 또는 $-\pi < \theta \leq \pi$ 범위로 제한합니다.
2. 직교좌표와 극좌표의 변환
2.1 극좌표 → 직교좌표
변환 공식 1
극좌표 $(r, \theta)$를 직교좌표 $(x, y)$로 변환:
$$\begin{cases}
x = r \cos\theta \\
y = r \sin\theta
\end{cases}$$
예제 1
극좌표 $(2, \frac{\pi}{3})$를 직교좌표로 변환하시오.
풀이:
$$\begin{align}
x &= 2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \\
y &= 2\sin\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
\end{align}$$
답: $(1, \sqrt{3})$
2.2 직교좌표 → 극좌표
변환 공식 2
직교좌표 $(x, y)$를 극좌표 $(r, \theta)$로 변환:
$$\begin{cases}
r = \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \text{ (단, 사분면 고려)}
\end{cases}$$
주의: $\theta$를 구할 때는 점 $(x, y)$가 어느 사분면에 있는지 반드시 확인해야 합니다.
예제 2
직교좌표 $(-1, 1)$을 극좌표로 변환하시오.
풀이:
1단계: $r$ 계산
$$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$
2단계: $\theta$ 계산
점 $(-1, 1)$은 제2사분면에 위치합니다.
$$\tan\theta = \frac{1}{-1} = -1$$
제2사분면에서 $\tan\theta = -1$이므로 $\theta = \frac{3\pi}{4}$
답: $\left(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}\right)$
3. 복소수의 극형식
복소수를 극좌표계를 이용하여 표현하면 많은 계산이 간단해집니다.
복소수 $z = a + bi$를 복소평면에 점 $(a, b)$로 나타낼 때,
이를 극좌표로 표현한 것이 복소수의 극형식입니다.
정의: 복소수의 극형식
복소수 $z = a + bi$에 대하여
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
여기서:
- $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (복소수의 절댓값 또는 크기)
- $\theta = \arg(z)$ (복소수의 편각, argument)
예제 3
복소수 $z = -1 + \sqrt{3}i$를 극형식으로 나타내시오.
풀이:
1단계: 크기 $r$ 계산
$$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$
2단계: 편각 $\theta$ 계산
점 $(-1, \sqrt{3})$은 제2사분면에 위치합니다.
$$\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$$
제2사분면에서 $\tan\theta = -\sqrt{3}$이므로 $\theta = \frac{2\pi}{3}$
3단계: 극형식 표현
$$z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$
4. 극형식의 곱셈과 나눗셈
극형식의 가장 큰 장점은 복소수의 곱셈과 나눗셈이 매우 간단해진다는 것입니다.
복소수의 곱셈
$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$일 때
$$z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$$
크기는 곱하고, 각은 더한다!
복소수의 나눗셈
$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$일 때
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$$
크기는 나누고, 각은 뺀다!
예제 4
$z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$과 $z_2 = 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$의 곱을 구하시오.
풀이:
$$\begin{align}
z_1 z_2 &= 2 \times 3 \left[\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right)\right] \\
&= 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) \\
&= 6(0 + i) = 6i
\end{align}$$
5. 연습문제
문제 1
다음 극좌표를 직교좌표로 변환하시오:
- $(4, \frac{\pi}{4})$
- $(3, \frac{5\pi}{6})$
풀이 1
1) $(4, \frac{\pi}{4})$
$$\begin{align}
x &= 4\cos\frac{\pi}{4} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \\
y &= 4\sin\frac{\pi}{4} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\end{align}$$
답: $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$
2) $(3, \frac{5\pi}{6})$
$$\begin{align}
x &= 3\cos\frac{5\pi}{6} = 3 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \\
y &= 3\sin\frac{5\pi}{6} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\end{align}$$
답: $\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$
문제 2
다음 직교좌표를 극좌표로 변환하시오 ($0 \leq \theta < 2\pi$):
- $(3, 3)$
- $(-2, 2\sqrt{3})$
풀이 2
1) $(3, 3)$
크기:
$$r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$
편각: 제1사분면, $\tan\theta = \frac{3}{3} = 1$ → $\theta = \frac{\pi}{4}$
답: $\left(3\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$
2) $(-2, 2\sqrt{3})$
크기:
$$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$$
편각: 제2사분면, $\tan\theta = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}$ → $\theta = \frac{2\pi}{3}$
답: $\left(4, \frac{2\pi}{3}\right)$
6. 극방정식
극좌표계에서 곡선을 $r$과 $\theta$의 관계식으로 나타낸 것을 극방정식이라고 합니다.
6.1 기본적인 극방정식
| 극방정식 |
도형 |
| $r = a$ (상수) |
중심이 원점이고 반지름이 $a$인 원 |
| $\theta = \alpha$ (상수) |
원점을 지나고 $x$축과 $\alpha$의 각을 이루는 직선 |
| $r = a\cos\theta$ |
중심이 $(a/2, 0)$이고 반지름이 $a/2$인 원 |
| $r = a\sin\theta$ |
중심이 $(0, a/2)$이고 반지름이 $a/2$인 원 |
| $r = a(1 + \cos\theta)$ |
카디오이드 (심장 모양) |
| $r = a\sin(n\theta)$ |
장미 곡선 ($n$개의 꽃잎) |
7. 요약
- 극좌표: $(r, \theta)$로 점의 위치를 표현 ($r$은 거리, $\theta$는 각)
- 극좌표 → 직교좌표: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$
- 직교좌표 → 극좌표: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\theta = \arctan(y/x)$ (사분면 고려)
- 복소수의 극형식: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
- 곱셈: 크기는 곱하고 각은 더함
- 나눗셈: 크기는 나누고 각은 뺌