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1. 정적분의 정의와 리만 합
곡선 아래의 넓이를 어떻게 구할 수 있을까요?
단순한 직사각형이나 삼각형이 아닌 곡선으로 이루어진 도형의 넓이는
고대부터 수학자들을 괴롭혀온 문제였습니다.
19세기 독일의 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은
이 문제를 해결하기 위해 영리한 방법을 고안했습니다.
바로 곡선 아래의 영역을 작은 직사각형들로 나누어 근사하는 것입니다.
정의: 리만 합 (Riemann Sum)
함수 $f(x)$가 구간 $[a, b]$에서 정의될 때, 이 구간을 $n$개의 부분구간으로 나눕니다:
$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$$
각 부분구간의 폭을 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$이라 하면,
리만 합은 각 부분구간에서의 함수값과 폭의 곱의 합입니다:
$$R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$$
여기서 $x_i^*$는 $[x_{i-1}, x_i]$ 구간의 대표점입니다.
2. 좌측 리만 합 (Left Riemann Sum)
좌측 리만 합은 각 부분구간의 왼쪽 끝점에서의 함수값을 사용하여 직사각형의 높이를 결정합니다.
좌측 리만 합 공식
대표점으로 $x_i^* = x_{i-1}$을 선택하면:
$$L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x = \Delta x [f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})]$$
즉, $L_n = \Delta x \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$
2.1 좌측 리만 합의 특징
- 증가함수의 경우: 좌측 리만 합은 실제 넓이보다 작습니다 (과소평가)
- 감소함수의 경우: 좌측 리만 합은 실제 넓이보다 큽니다 (과대평가)
- 계산이 비교적 간단하여 초기 근사값으로 자주 사용됩니다
예제 1: 좌측 리만 합
$f(x) = x^2$에 대하여 구간 $[0, 2]$를 4개의 부분구간으로 나누어 좌측 리만 합을 구하시오.
풀이:
1단계: 구간 설정
- $a = 0, b = 2, n = 4$
- $\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0.5$
- 분할점: $x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0$
2단계: 좌측 끝점에서의 함수값 계산
- $f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0$
- $f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$
- $f(x_2) = f(1.0) = 1^2 = 1$
- $f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25$
3단계: 좌측 리만 합 계산
$$\begin{align}
L_4 &= \Delta x [f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)] \\
&= 0.5 [0 + 0.25 + 1 + 2.25] \\
&= 0.5 \times 3.5 \\
&= 1.75
\end{align}$$
참고: 실제 정적분 값은 $\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3} \approx 2.667$이므로, 좌측 리만 합이 과소평가했습니다.
3. 우측 리만 합 (Right Riemann Sum)
우측 리만 합은 각 부분구간의 오른쪽 끝점에서의 함수값을 사용하여 직사각형의 높이를 결정합니다.
우측 리만 합 공식
대표점으로 $x_i^* = x_i$를 선택하면:
$$R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \Delta x [f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)]$$
즉, $R_n = \Delta x \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$
3.1 우측 리만 합의 특징
- 증가함수의 경우: 우측 리만 합은 실제 넓이보다 큽니다 (과대평가)
- 감소함수의 경우: 우측 리만 합은 실제 넓이보다 작습니다 (과소평가)
- 좌측 리만 합과 함께 사용하여 실제 넓이의 상한과 하한을 추정할 수 있습니다
예제 2: 우측 리만 합
$f(x) = x^2$에 대하여 구간 $[0, 2]$를 4개의 부분구간으로 나누어 우측 리만 합을 구하시오.
풀이:
1단계: 구간 설정 (예제 1과 동일)
- $\Delta x = 0.5$
- 분할점: $x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0$
2단계: 우측 끝점에서의 함수값 계산
- $f(x_1) = f(0.5) = 0.25$
- $f(x_2) = f(1.0) = 1$
- $f(x_3) = f(1.5) = 2.25$
- $f(x_4) = f(2.0) = 4$
3단계: 우측 리만 합 계산
$$\begin{align}
R_4 &= \Delta x [f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4)] \\
&= 0.5 [0.25 + 1 + 2.25 + 4] \\
&= 0.5 \times 7.5 \\
&= 3.75
\end{align}$$
비교:
- 좌측 리만 합: $L_4 = 1.75$
- 우측 리만 합: $R_4 = 3.75$
- 실제 정적분: $\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3} \approx 2.667$
- 평균: $\frac{L_4 + R_4}{2} = \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$ (실제 값에 더 가까움)
4. 좌측 리만 합 vs 우측 리만 합
| 비교 항목 |
좌측 리만 합 |
우측 리만 합 |
| 대표점 |
$x_{i-1}$ (왼쪽 끝) |
$x_i$ (오른쪽 끝) |
| 증가함수 |
과소평가 (하한) |
과대평가 (상한) |
| 감소함수 |
과대평가 (상한) |
과소평가 (하한) |
| 사용 인덱스 |
$\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$ |
$\sum_{i=1}^{n} f(x_i)$ |
5. 정적분으로의 수렴
구간을 나누는 개수 $n$을 무한대로 보내면, 좌측 리만 합과 우측 리만 합 모두 정적분으로 수렴합니다:
$$\lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} R_n = \int_a^b f(x) dx$$
이것이 바로 정적분의 정의입니다!
6. 연습문제
문제 1
$f(x) = 2x + 1$에 대하여 구간 $[0, 3]$을 6개의 부분구간으로 나누어:
- 좌측 리만 합을 구하시오.
- 우측 리만 합을 구하시오.
- 실제 정적분 $\int_0^3 (2x+1) dx$를 계산하고 비교하시오.
풀이 1
구간 설정:
- $a = 0, b = 3, n = 6$
- $\Delta x = \frac{3-0}{6} = 0.5$
- 분할점: $0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0$
1) 좌측 리만 합
함수값 계산:
| $x_i$ |
0 |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
2.0 |
2.5 |
| $f(x_i)$ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
$$\begin{align}
L_6 &= 0.5 [f(0) + f(0.5) + f(1.0) + f(1.5) + f(2.0) + f(2.5)] \\
&= 0.5 [1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6] \\
&= 0.5 \times 21 \\
&= 10.5
\end{align}$$
2) 우측 리만 합
함수값 계산:
| $x_i$ |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
2.0 |
2.5 |
3.0 |
| $f(x_i)$ |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
$$\begin{align}
R_6 &= 0.5 [f(0.5) + f(1.0) + f(1.5) + f(2.0) + f(2.5) + f(3.0)] \\
&= 0.5 [2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7] \\
&= 0.5 \times 27 \\
&= 13.5
\end{align}$$
3) 실제 정적분
$$\begin{align}
\int_0^3 (2x+1) dx &= \left[x^2 + x\right]_0^3 \\
&= (9 + 3) - (0 + 0) \\
&= 12
\end{align}$$
비교:
- 좌측 리만 합: $L_6 = 10.5$ (과소평가)
- 우측 리만 합: $R_6 = 13.5$ (과대평가)
- 실제 정적분: $12$ (두 값의 중간)
- 평균: $\frac{10.5 + 13.5}{2} = 12$ (정확함!)
관찰: 일차함수의 경우 좌측 리만 합과 우측 리만 합의 평균이 정확한 정적분 값입니다.
문제 2
$f(x) = 4 - x^2$에 대하여 구간 $[0, 2]$를 4개의 부분구간으로 나누어:
- 좌측 리만 합을 구하시오.
- 우측 리만 합을 구하시오.
- $n$이 증가하면 어떻게 될지 설명하시오.
풀이 2
구간 설정:
- $a = 0, b = 2, n = 4$
- $\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0.5$
- 분할점: $0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0$
1) 좌측 리만 합
함수값 계산:
- $f(0) = 4 - 0^2 = 4$
- $f(0.5) = 4 - (0.5)^2 = 3.75$
- $f(1.0) = 4 - 1^2 = 3$
- $f(1.5) = 4 - (1.5)^2 = 1.75$
$$\begin{align}
L_4 &= 0.5 [4 + 3.75 + 3 + 1.75] \\
&= 0.5 \times 12.5 \\
&= 6.25
\end{align}$$
2) 우측 리만 합
함수값 계산:
- $f(0.5) = 3.75$
- $f(1.0) = 3$
- $f(1.5) = 1.75$
- $f(2.0) = 4 - 4 = 0$
$$\begin{align}
R_4 &= 0.5 [3.75 + 3 + 1.75 + 0] \\
&= 0.5 \times 8.5 \\
&= 4.25
\end{align}$$
3) $n$이 증가하면?
실제 정적분 값:
$$\begin{align}
\int_0^2 (4-x^2) dx &= \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 \\
&= \left(8 - \frac{8}{3}\right) - 0 \\
&= \frac{16}{3} \approx 5.333
\end{align}$$
관찰:
- $f(x) = 4 - x^2$는 $[0, 2]$에서 감소함수입니다
- 좌측 리만 합: $L_4 = 6.25 > 5.333$ (과대평가)
- 우측 리만 합: $R_4 = 4.25 < 5.333$ (과소평가)
- 실제 값은 두 값 사이: $4.25 < 5.333 < 6.25$
$n$이 증가하면:
- $\Delta x$가 작아져서 직사각형이 더 많아지고 가늘어집니다
- $L_n$은 감소하면서 실제 값에 접근합니다
- $R_n$은 증가하면서 실제 값에 접근합니다
- $\lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} R_n = \frac{16}{3}$
7. 리만 합의 응용
7.1 물리학에서의 응용
- 거리 계산: 속도 함수를 시간에 대해 적분하면 이동 거리
- 일(Work): 힘 함수를 거리에 대해 적분하면 한 일
- 전하량: 전류를 시간에 대해 적분하면 총 전하량
7.2 경제학에서의 응용
- 총비용: 한계비용 함수를 생산량에 대해 적분
- 소비자 잉여: 수요곡선 아래의 넓이
8. 요약
- 리만 합은 곡선 아래의 넓이를 직사각형들로 근사합니다
- 좌측 리만 합: $L_n = \Delta x \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$ (왼쪽 끝점 사용)
- 우측 리만 합: $R_n = \Delta x \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$ (오른쪽 끝점 사용)
- 증가함수: $L_n <$ 실제 넓이 $< R_n$
- 감소함수: $R_n <$ 실제 넓이 $< L_n$
- $n \to \infty$일 때 두 리만 합 모두 정적분으로 수렴합니다