← 목록으로 돌아가기
1. 몫의 미분법 (Quotient Rule)
분수함수는 두 함수의 나눗셈으로 표현되는 함수입니다. 분수함수 \(\frac{f(x)}{g(x)}\)를 미분할 때는
몫의 미분법을 사용합니다.
몫의 미분법 공식:
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$
이 공식을 기억하기 쉽게 "아래×위 미분 - 위×아래 미분, 모두 아래제곱으로 나누기"라고 외울 수 있습니다.
단, 분모 \(g(x) \neq 0\)이어야 합니다.
2. 유도 과정
몫의 미분법은 곱의 미분법과 연쇄법칙으로부터 유도할 수 있습니다.
\(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot [g(x)]^{-1}\)로 쓸 수 있으므로:
$$h'(x) = f'(x) \cdot [g(x)]^{-1} + f(x) \cdot (-1)[g(x)]^{-2} \cdot g'(x)$$
$$= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$
3. 기본 예제
간단한 예로 \(y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\)을 미분해 봅시다.
\(f(x) = x^2 + 1\), \(g(x) = x - 1\)이므로 \(f'(x) = 2x\), \(g'(x) = 1\)입니다.
$$y' = \frac{2x(x-1) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$$
4. 연습문제
문제 1. 다음 함수를 미분하시오.
$$f(x) = \frac{3x + 2}{x^2 + 1}$$
풀이 1.
분자: \(f(x) = 3x + 2\) → \(f'(x) = 3\)
분모: \(g(x) = x^2 + 1\) → \(g'(x) = 2x\)
몫의 미분법을 적용하면:
$$f'(x) = \frac{3(x^2 + 1) - (3x + 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$
$$= \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 4x}{(x^2 + 1)^2}$$
$$= \frac{-3x^2 - 4x + 3}{(x^2 + 1)^2}$$
문제 2. 다음 함수를 미분하시오.
$$g(x) = \frac{x^3}{2x - 1}$$
풀이 2.
분자: \(f(x) = x^3\) → \(f'(x) = 3x^2\)
분모: \(h(x) = 2x - 1\) → \(h'(x) = 2\)
몫의 미분법을 적용하면:
$$g'(x) = \frac{3x^2(2x - 1) - x^3 \cdot 2}{(2x - 1)^2}$$
$$= \frac{6x^3 - 3x^2 - 2x^3}{(2x - 1)^2}$$
$$= \frac{4x^3 - 3x^2}{(2x - 1)^2}$$
$$= \frac{x^2(4x - 3)}{(2x - 1)^2}$$
5. 마무리
분수함수의 미분은 처음에는 복잡해 보일 수 있지만, 공식을 정확히 이해하고 반복해서 연습하면
자연스럽게 익힐 수 있습니다. 계산 과정에서 부호와 전개 과정을 주의 깊게 확인하는 것이 중요합니다.