← 목록으로 돌아가기
1. 서론
소수의 분포는 수학에서 가장 흥미로운 주제 중 하나입니다.
고대 그리스의 유클리드는 소수가 무한히 많다는 것을 증명했지만,
소수가 어떻게 분포하는지에 대한 질문은 수천 년 동안 수학자들을 매료시켜 왔습니다.
1837년, 독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)는
등차수열 속에 소수가 어떻게 분포하는지에 대한 놀라운 정리를 증명했습니다.
2. 디리클레 소수 정리
정리: 디리클레 소수 정리 (Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions)
$a$와 $d$가 서로소인 양의 정수일 때 ($\gcd(a, d) = 1$), 등차수열
$$a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$$
은 무한히 많은 소수를 포함합니다.
2.1 정리의 의미
이 정리는 매우 강력한 결과입니다. 예를 들어:
- $a=3, d=4$: 수열 $3, 7, 11, 15, 19, 23, \ldots$ (4로 나눈 나머지가 3인 수) 중 무한히 많은 소수
- $a=1, d=6$: 수열 $1, 7, 13, 19, 25, 31, \ldots$ (6으로 나눈 나머지가 1인 수) 중 무한히 많은 소수
- $a=5, d=6$: 수열 $5, 11, 17, 23, 29, 35, \ldots$ (6으로 나눈 나머지가 5인 수) 중 무한히 많은 소수
중요한 조건: $\gcd(a, d) = 1$이어야 합니다.
만약 $\gcd(a, d) > 1$이면, 수열의 모든 항이 그 공약수로 나누어지므로
소수는 유한개만 존재하거나 전혀 없을 수 있습니다.
2.2 특수한 경우들
예제 1: $d=2$인 경우
경우 1: $a=1, d=2$ → 홀수: $1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots$
무한히 많은 소수 포함 (2를 제외한 모든 소수)
경우 2: $a=2, d=2$ → 짝수: $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$
$\gcd(2, 2) = 2 \neq 1$이므로 정리가 적용되지 않음. 실제로 소수는 2 하나뿐.
예제 2: $d=4$인 경우
4와 서로소인 나머지: 1, 3
| $a$ |
수열 |
처음 몇 개의 소수 |
| 1 |
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ... |
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, ... |
| 3 |
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ... |
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, ... |
3. 증명의 개요 (고급)
디리클레의 원래 증명은 매우 복잡하며 해석적 정수론의 기법을 사용합니다.
여기서는 증명의 핵심 아이디어만 간략히 소개합니다.
3.1 디리클레 L-함수
디리클레는 다음과 같은 L-함수를 도입했습니다:
$$L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}$$
여기서 $\chi$는 디리클레 지표(Dirichlet character)라 불리는 특별한 함수입니다.
3.2 증명의 핵심 단계
- 디리클레 지표 $\chi \pmod{d}$를 정의
- L-함수 $L(s, \chi)$가 $s=1$에서 특정 성질을 만족함을 보임
- 오일러 곱(Euler product) 표현을 이용하여 소수와 연결
- $s \to 1^+$일 때 L-함수의 행동을 분석
- 등차수열에 무한히 많은 소수가 있음을 결론
이 증명은 해석학, 대수학, 정수론을 결합한 수학의 걸작으로 여겨집니다.
4. 구체적인 예시
예제 3: 4k+1 형태의 소수
4로 나눈 나머지가 1인 소수들:
$$5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, \ldots$$
디리클레 정리에 의해 이러한 소수는 무한히 많습니다.
흥미로운 사실: 4k+1 형태의 소수는 두 제곱수의 합으로 유일하게 표현됩니다.
- $5 = 1^2 + 2^2$
- $13 = 2^2 + 3^2$
- $17 = 1^2 + 4^2$
- $29 = 2^2 + 5^2$
예제 4: 6k±1 형태의 소수
2와 3을 제외한 모든 소수는 $6k+1$ 또는 $6k-1$ (즉, $6k+5$) 형태입니다.
$6k+1$ 형태: 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, ...
$6k+5$ 형태: 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, ...
디리클레 정리는 각 형태에 무한히 많은 소수가 있음을 보장합니다.
5. 연습문제
문제 1
다음 중 디리클레 소수 정리가 적용되는 경우를 모두 고르시오:
- $a=2, d=6$ (수열: 2, 8, 14, 20, ...)
- $a=5, d=12$ (수열: 5, 17, 29, 41, ...)
- $a=3, d=9$ (수열: 3, 12, 21, 30, ...)
- $a=7, d=10$ (수열: 7, 17, 27, 37, ...)
풀이 1
디리클레 정리가 적용되려면 $\gcd(a, d) = 1$이어야 합니다.
- $\gcd(2, 6) = 2 \neq 1$ → 적용 안 됨
- $\gcd(5, 12) = 1$ → 적용됨
- $\gcd(3, 9) = 3 \neq 1$ → 적용 안 됨
- $\gcd(7, 10) = 1$ → 적용됨
답: 2번과 4번
검증:
- 1번: 모든 항이 2로 나누어지므로 2 이외에 소수 없음
- 2번: 5, 17, 29, 41, 53, ... (모두 소수)
- 3번: 모든 항이 3으로 나누어지므로 3 이외에 소수 없음
- 4번: 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, ... (무한히 많은 소수)
문제 2
100 이하의 소수 중에서 다음 형태의 소수를 각각 나열하시오:
- $8k + 1$ 형태
- $8k + 3$ 형태
- $8k + 5$ 형태
- $8k + 7$ 형태
풀이 2
먼저 100 이하의 모든 소수: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
각 소수를 8로 나눈 나머지로 분류:
- $8k + 1$: 17, 41, 73, 89, 97 (5개)
- $8k + 3$: 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83 (7개)
- $8k + 5$: 5, 13, 29, 37, 53, 61 (6개)
- $8k + 7$: 7, 23, 31, 47, 71, 79 (6개)
관찰:
- 8과 서로소인 나머지: 1, 3, 5, 7
- $8k, 8k+2, 8k+4, 8k+6$ 형태는 짝수이므로 (2 제외) 소수가 아님
- 디리클레 정리에 의해 각 형태에 무한히 많은 소수가 존재
- 100 이하에서는 비슷한 개수로 분포 (5~7개)
6. 디리클레 정리의 일반화와 확장
6.1 소수 정리 (Prime Number Theorem)
디리클레 정리는 소수의 존재만을 보장합니다.
더 나아가 소수 정리(PNT)는 $x$ 이하의 소수의 개수 $\pi(x)$가 다음과 같이 근사됨을 보입니다:
$$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$$
6.2 등차수열의 소수 정리
디리클레 정리를 정량적으로 확장하면, 등차수열 $a + nd$ ($\gcd(a,d)=1$)에서
$x$ 이하의 소수 개수는 대략:
$$\pi(x; d, a) \sim \frac{1}{\phi(d)} \cdot \frac{x}{\ln x}$$
여기서 $\phi$는 오일러 파이 함수입니다.
7. 요약
- 디리클레 소수 정리: $\gcd(a, d) = 1$이면 $a + nd$ 형태의 소수가 무한히 많음
- 조건 $\gcd(a, d) = 1$은 필수적
- 증명은 해석적 정수론의 기법(디리클레 L-함수)을 사용
- 소수가 등차수열에서 어떻게 분포하는지 이해하는 핵심 정리
- 현대 정수론과 암호학의 중요한 기초